Barisan dan Deret

Barisan
1. Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dengan cara menambah atau mengurangi suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap
contoh: 1,4,7,10,13,16,....
             2,0,-2,-4,-6,-8,....

2. Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan atau membagi suku sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap
contoh: 2,6,18,54,162,.....
             4,2,1,1/2,1/4,......

Un = a+(n-1)b
keterangan:   a = U1
                    n = suku yang dicari
                    b = beda/selisih

Contoh soal
1. Tentukan lima suku pertama dari Un = 4n-3
 Un = 4n-3
 U1 = 4.1-3 = 1
 U2 = 4.2-3 = 5
 U3 = 4.3-3 = 9
 U4 = 4.4-3 = 13
 U5 = 4.5-3 = 17
Jadi, kelima suku tersebut adalah 1,5,9,13,17

2. Tentukan U25 dari 60,68,76,84,...
 Dik:  a = 60
         b = 8
         n = 25
 Dit: U25?
 Peny: Un   = a+(n-1)b
           U25 = 60 + (25-1)8
                  = 252
Jadi, U25 dari barisan tersebut adalah 252

3. Barisan 5,14,23,.... suku ke berapakah 239
Dik: a = 5
       b = 9
      Un = 239
Dit: n?
Peny: Un = a+(n-1)b
          239=5+(n-1)9
          239=5+9n-9
          239=9n-4
            9n= 242
              n=27
Jadi, Bilangan 239 adalah suku ke 27 dari barisan tersebut

Deret
1. Deret Aritmetika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmetika
contoh: 1+4+7+10+13+....
S1 = U1
S2 = U1 + U2
S3 = U1 + U2 + U3
S4 = U1 + U2 + U3 + U4
S5 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5

S5 = 1+4+7+10+13
S5 = 13+10+7+4+1 +
2S5= 14+14+14+14+14
2S5= 5.14
  S5= 5/2(13+1)
  S5= 5/2(U1+U5)
  S5= 5/2(U1+Un)

Sn= n/2(U1+Un)
    = n/2{a+a(n-1)b}
Sn= n/{(2a+(n-1)b}

2. Deret Geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri
contoh: 5+10+20+40+80+.....

r<1

r>1
Keterangan : a = suku pertama
                    r = rasio
                    n = suku yang dicari

Contoh soal
1. Tentukan jumlah dari 2+5+8+... sampai 50 suku
Dik : a = 2
        b = 3
        n = 50
Dit: S50?
Peny: Sn= n/{(2a+(n-1)b}
          S50 = 50/2 {2.2 + (50-1)3}
          S50 = 25(4+29.3)
          S50 = 3775
Jadi, jumlah dari deret tersebut sampai suku ke 50 adalah 3775

2. Tentukan jumlah bilangan kelipatan 3 dari 1-100
Dik: U1=3
       Un=99
         b = 3
Dit: Sn?
Peny: Un = a+(n-1)b
          99 = 3 +(n-1)3
          99 = 3n
            n = 33
         Sn= n/2(U1+Un)
         S33=33/2(3+99)
         S33=1683
Jadi, jumlah dari bilangan berkelipatan  dari 1-100 adalah 1683

Bilangan Fibonacci
1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
4,4,8,12,20,32,52,84,...
bilangan tersebut didapatkan dari menambahkan jumlah dari kedua bilangan sebelumnya

Contoh soal
1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika luasnya 24 cm2
      hitunglah kelilingnya
U1 = a-b = 8-2=6
U2 = a = 8
U3 = a+b = 8+2=10

c² = a²+b²

(a+b)²=a²+(a-b)²

^{a2+2ab+b2=a2+a2-2ab+b2}

a(a-4b)=0

a=0 V a=4b

L = 1/2.(a-b)a
L = 1/2.(4b-b)4b
L = 1/2.12b2
24 = 6b2
 b = ±2
a=4b
a=8
keliling= 6+8+10=24 cm
Jadi, keliling segitiga tersebut adalah 24 cm

2. Tiga buah bilangan (x+1), (2x-1), dan (2x+2) membentuk barisan aritmetika, tentukan bilangan-bilangan tersebut
U3-U2=U2-U1
2x+2-(2x-1)=2x-1-(x+1)
2x+2-2x+1=2x-1-x-1
3=x-2
x=5
(x+1)= 5+1= 6
(2x-1)= 2.5-1= 9
(2x+2)= 2.5 +2= 12
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 6,9, dan 12

Quadratic Equation

1. 

2.

                                                                  3. 

                                                                                                                                  4.

 

5.

6.

7. Carilah panjang sisi segitiga di bawah ini dan keliling serta luasnya!

Pembahasan

                8. The sum of the square of two positive consecutive odd number is 130. Determine the two numbers.

Jadi, kedua bilangan itu adalah 7 dan 9 karena jika 7 dipangkat 2 dan ditambah dengan 9 dipangkat 2 hasilnya 130 dan kedua bilangan tersebut juga adalah bilangan ganjil berurutan

Indices and Surds

   Law of Indices












                                                                                                       Law of Surds

Exercise

1.  

 2. 

3.

4.

                           5.

     6.

7.

8.

                                      9.

                              Rationalizing Surd Fraction

                                                                                                             
Find X!

1.

                                                                                                                                                                    2. 

Statistics

What is statistics?
statistics is the science of collecting, analyzing, interpreting or explaining and presenting data, it can be employed to make an accurate decision.

A. Collecting data
1. Definition of data and datum
- Datum: Facts needed
- Data    : Collection of several datum

2. Definition of population and sample
- Population: All subjects being studied
- Sample: Part of population being studied

3. Type of data
- Quantitative data: Data in form of numbers
a. Discrete data (data cacahan): Data obtained by counting
    ex. -jumlah siswa kelas 9
          -data jumlah papan tulis di SDH

b. Continu data (data ukuran): Data obtained by measuring
    ex. -data tinggi badan siswa
          -data ukuran sepatu

- Qualitative data: Data not inform of number
    ex. -data makanan kesukaan kelas 9
          -data warna tinja setiap hari

4. Methods in data collecting
a. Interview (wawancara)
b. Questionnaire (pertanyaan tertulis)
c. Observation (pengamatan)

5. Measures of central tendency (ukuran pemusatan data)
a. Mean (rata-rata)
b. Median (nilai tengah)
c. Modus (nilai yang paling sering muncul)

6. Measures of dispersion (ukuran penyebaran data)
a. Range (jangkauan)
b. Quartile ( Q1, Q2, Q3)
c. Interquartile range

B. Presenting statistical data
1. Pictogram (pictorial graph)
2. Bar chart
3. Line chart
4. Pie chart


a. Mean (rata-rata)

   __
   X   = mean (rata-rata)
   Xn = data ke-n
    n   = banyak data

b. Median (nilai tengah)

                       GANJIL

               GENAP




c. Modus
Data dengan frekuensi yang paling banyak muncul

Measures of Dispersion (ukuran penyebaran data)
a. Range (jangkauan)
R= Biggest datum - Smallest datum

Quartile

Data ganjil

Data genap

Interquartile range

Qr = Q3-Q1

Simpangan kuartil

QD = 1/2 ( Q3-Q1)

Rata-rata Gabungan (RRG)

Contoh Soal

1. 3,5,6,6,6,7,7,8,8,9,10

Tentukanlah Q1, Q2, Q3 !

Pembahasan:

data bilangan tersebut ada 11, jadi kita menggunakan rumus data ganjil

Q1= X(n+1)/4

     = X(11+1)/4          Jadi, karena data ketiga adalah 6 maka Q1 dari soal tersebut adalah 6

     = X 12/4

     =3X

Q1= 6

Q2= X 2(n+1)/4

     = X 2(11+1)/4       Jadi, karena data keenam adalah 7 maka Q2 dari soal tersebut adalah 7

     = X 2(12/4)

     = 6X

Q2= 7

Q3= X 3(n+1)/4

     = X 3(11+1)/4    Jadi, karena data kesembilan adalah 8 maka Q3 dari soal tersebut adalah 8

     = X 3(12/4)

     = 9X

Q2= 8

2. Carilah Q1, Q2, Q3,mean, median, modus dari data di bawah ini!

Pembahasan:

Modus = 8 ( dari frekuensi terbanyak)

Mean = {(6x6)+(7x8)+(8x9)+(9x5)+(10x4)} / (6+8+9+5+4) 

          = {36+56+72+45+40}/32

          = 249/32

          = 7,78

Median = Q2 

      

         = 2/4(X 32/2 + X 32/2 +1) 

         = 1/2(X16 +X17)

         = 1/2(8+8)

         = 8

              = X(32+2)/4

              = X 8.5 (frekuensi ke 8-9)

              = 7

            = X (3x32 +2)/4

            = X 24.5 (frekuensi ke 24-25)

            = 9

3. Carilah Q1,Q2,Q3 dari data di bawah ini!

Pembahasan: Data genap


               = X(18+2)/4
               = X5
               = 4


              = 2/4(X18/2 + X 18/2 +1)
              = 1/2(X9 + X10)
              = 1/2(7+7)
              = 7


              = X(3x18+2)/4
              = X(54+2)/4
              = X14
              = 8

kongruen dan kesebangunan

Kongruen adalah dua buah bangun datar yang memiliki panjang sisi, besar sudut, dan bentuk yang sama. Sedangkan, kesebangunan adalah dua buah bangun datar yang memiliki besar sudut dan bentuk yang sama tetapi, panjang sisi yang berbeda namun tetap dengan perbandingan yang senilai. Jadi, bangun yang sebangun belum tentu kongruen. tetapi, bangun yang kongruen pasti sebangun.

Ada 4 cara untuk mengetahui bahwa segitiga tersebut kongruen:

1. SSS- Side Side Side (sisi sisi sisi) = artinya segitiga yang memiliki 3 sisi yang sama panjang

AB=EF (S)

AC=EG (S)
BC=FG (S)

   
 
     2. SAS- Side Angle Side (sisi sudut sisi)= artinya segitiga yang memiliki 2 sisi yang sama panjang dan diantaranya ada sudut yang sama besar

AB=EF (S)

LBAC=LFEG (A)

AC=EG (S)

       3. AAS- Angle Angle Side (sudut sudut sisi)= artinya segitiga yang memiliki 2 sudut yang sama besar dan 1 sisi yang sama panjang dan bersesuaian

LEDF=LKJL (A)

LDEF=LJKL (A)

DE=JK (S)

        4. RHS- Right Angle Hypotenuse Side (sudut sisi sisi)= artinya memiliki sudut siku-siku dan 2 sisi yang sama panjang

LABC=LMNO

AC=MO

BC=NO

Ada 3 cara untuk mengetahui bahwa segitiga tersebut sebangun:

1. AA- Angle Angle (sudut sudut)= artinya memiliki 2 sudut yang sama besar

LBAC=LKPL (A)

LABC=LPKL (A)

         2. SSS- Side Side Side (sisi sisi sisi)= artinya memiliki 3 sisi yang mepunyai perbandingan yang bersesuaian/sama

DB:MK = 8 CM : 4 CM= 2 (S)

BC:KL = 6 CM : 3 CM= 2 (S)

DC:ML = 8 CM : 4 CM= 2 (S)

              3. SAS- Side Angle Side ( sisi sudut sisi)= artinya memiliki 2 sisi yang mempunyai perbandingan yang bersesuaian/sama dan memiliki 1 sudut yang sama besar

DK:MG= 12 CM: 4 CM= 3 (S)

LKDH=LGMJ (A)

KH;GJ= 9 CM : 3 CM= 3 (S)

CONTOH SOAL

1.  Buktikanlah bahwa segitiga di bawah ini kongruen!

Pembahasan:  BL= KJ (S)

                       BK= LJ (S)

                       KL1= KL2 (S)

       Jadi, segitiga BKL (segitiga 1) kongruen dengan segitiga LKJ (segitiga 2)

2. Buktikanlah bahwa segitiga di bawah ini kongruen!

Pembahasan: DL=LG (S)

                      LDLO=LHLG (A)* Sudut yang berhadapan mempunyai besar sudut yang sama

                      HL=LO (S)

      

     Jadi, segitiga DLG kongruen dengan segitiga HLG

Kesebangunan di segitiga siku-siku

1. luas segitiga 

    1/2 . PD . PR = 1/2 . PS. SR  

              PD.PR = PS.SR

2. DP ² = DS . DR

3. PR ² = SR . DR

4. PS ² = SR . DS

           DP:DS = DR: DP                          PR:SR = RD:PR                SP:SR = DS:PS                  

                DP2 = DS.DR                             PR2 = SR.DR                   PS2 = SR.DS

                 

Contoh Soal 

1.  X = ......

          PEMBAHASAN

                      5:9 = 7.4 : 7.4 + X

              37 + 5X = 66.6

                       5X= 29.6

                            X = 5.92 CM

2. 

CD = .....

PEMBAHASAN

JADI, BUATLAH GARIS BANTU DI DALAM TRAPESIUM INI YANG MEMBENTUK SEBUAH SEGITIGA UNTUK DAPAT MEMBANDINGKAN SEGITIGA KECIL TERSEBUT DENGAN SEGITIGA YANG BESAR

CD = X + 14

3:7 = X : 21

 7X = 63

   X = 9 CM

CD = 9 + 14

      = 23 CM